חוק 3 של קפלר
הגדרה: כאשר 2 גופים נעים סביב אותו כוכב הלכת יחס הרדיוסים בשלישית שווה ליחס זמני המחזור בריבוע.
נוסחה:
(r₁/r₂)³ = (T₁/T₂)²
פרמטרים:
r₁ = רדיוס גוף 1 [m]
r₂ = רדיוס גוף 2 [m]
T₁ = זמן מחזור גוף 1 [s]
T₂ = זמן מחזור גוף 2 [s]
הוכחה: חוק שלישי של קפלר
GMm/r² = m·ω²r/:m
GM/r² = ω²r
GM/r² = (2π/T)²·r
GM/r² = 4π²r/T²
T² = 4π²r³/GM
נציב את הערכים עבור כל לווין:
T₂² = 4π²r₂³/GM
נחלק בין המשוואות:
(T₁/T₂)² = (r₁/r₂)³
ההסבר המלא של חוק 3 של קפלר בשיעור וידאו, עם דוגמאות פתורות צעד צעד
לצפייה בחינםנכנסים בקליק אחד עם גוגל, בלי כרטיס אשראיחלליות 1 ו-2 מקיפות את כדור הארץ במסלולים מעגליים. חללית 1 נעה במסלול שרדיוסו r₁ = 8.5·10⁶ m וזמן המחזור שלה הוא T₁ = 2.4·10⁴ s. חללית 2 נעה במסלול שרדיוסו r₂ = 1.7·10⁷ m.
חשבו את זמן המחזור של חללית 2.
T₂ = ?
נשתמש בחוק השלישי של קפלר למסלולים סביב אותו גוף מרכזי:
(T₂/2.4·10⁴)² = (1.7·10⁷/8.5·10⁶)³
(T₂/2.4·10⁴)² = 8 /√
T₂/2.4·10⁴ = √8 /·2.4·10⁴
T₂ = 2.4·10⁴·√8 = 67,882
T₂ = 67,882s
דוגמה 2 לחצו לפתיחה ‹
בשנת 2024 התגלתה מערכת שמש חדשה סביב כוכב זוהריון. כוכב הלכת הראשון, "אלפא", מקיף את כוכב זוהריון במרחק ממוצע של rₐ = 3.6·10¹¹ m וזמן המחזור שלו הוא 2.4 שנים (בשנה יש 365 ימים). כוכב הלכת השני, "בטא", מקיף את כוכב זוהריון במרחק ממוצע של rᵦ = 8.1·10¹¹ m.
א. חשב את זמן המחזור של כוכב הלכת "בטא".
Tᵦ = ?
(Tᵦ/Tₐ)² = (rᵦ/rₐ)³ /√
Tᵦ/Tₐ = (rᵦ/rₐ)¹·⁵ /·Tₐ
Tᵦ = Tₐ·(rᵦ/rₐ)¹·⁵
Tᵦ = 7.568·10⁷·(8.1·10¹¹/3.6·10¹¹)¹·⁵ = 7.568·10⁷·(2.25)¹·⁵
Tᵦ = 2.554·10⁸s
ב. אסטרונומים מעריכים שקיים כוכב לכת שלישי, "גמא", במערכת. כוכב זה משלים הקפה מלאה סביב כוכב זוהריון בזמן של 24 שנים. חשב את המרחק של כוכב לכת זה מכוכב זוהריון.
rᵧ = ?
(Tᵧ/Tₐ)² = (rᵧ/rₐ)³
(rᵧ/rₐ)³ = (Tᵧ/Tₐ)² /³√
rᵧ/rₐ = (Tᵧ/Tₐ)²/³ /·rₐ
rᵧ = rₐ·(Tᵧ/Tₐ)²/³
rᵧ = 3.6·10¹¹·(7.568·10⁸/7.568·10⁷)²/³
rᵧ = 1.671·10¹²m
נתון: רדיוס כוכב זוהריון R = 8.5·109 m.
ג. חשב את תאוצת הכבידה על פני כוכב זוהריון.
g = ?
g = GM/R²
המסה M חסרה:
F = maᵣ
GMm/rₐ² = m·ω²rₐ/:m
GM/rₐ² = ω²rₐ
GM/rₐ² = (2π/Tₐ)²·rₐ
GM/rₐ² = 4π²r/Tₐ²
M = 4π²rₐ³/GTₐ²
M = 4π²·(3.6·10¹¹)³/(6.67·10⁻¹¹·(7.568·10⁷)²)
M = 4.821·1030 kg
g = 6.67·10⁻¹¹·4.821·1030/(8.5·109)²
g = 4.45 m/s²